تاریخچه هندسه فراکتال

هر مفهوم ریاضی در حال حاضر به خوبی شناخته شده به کودکان مدرسه رفته است از طریق دهه اگر نه قرن پالایش. یک دانشجوی معمولی خواهد شد, در نقاط مختلف در زندگی حرفه ای ریاضی او-با این حال طولانی یا کوتاه است که ممکن است-برخورد مفاهیم بعد, اعداد مختلط, و "هندسه". اگر رشته ریاضیات علاقه خاصی به او نداشته باشد این دانشجو ممکن است این مفاهیم را متمایز و نامربوط ببیند و به ویژه ممکن است این اشتباه را تصور کند که هندسه اقلیدسی که در مدرسه به او تدریس می شود کل رشته هندسه را در بر می گیرد. با این حال, اگر او به دنبال ریاضیات در سطح دانشگاه, او ممکن است یک میدان هیجان انگیز و نسبتا جدید مطالعه که ایده های فوق در علاوه بر این به بسیاری دیگر پیوند کشف: هندسه فراکتال.

در حالی که سهم شیر از اعتبار برای توسعه هندسه فراکتال می رود به بنوونت مندلبرو, بسیاری از ریاضیدانان دیگر در قرن قبل از او پایه و اساس کار خود را گذاشته بود. علاوه بر این, مندلبرو مدیون مقدار زیادی از پیشرفت های خود را به توانایی های خود را به استفاده از تکنولوژی کامپیوتر.یک مزیت است که پیشینیان خود و مجزا فاقد; با این حال, این به هیچ وجه کم از دستاوردهای رویایی خود. با این اوصاف, در حالی که اذعان و درک دستاوردهای مندلبرو, بدون شک کمک می کند تا به برخی از اشنایی با کارهای مربوط به کارل وایرشتراس, جورج کانتور, فلیکس هاوسدورف, گاستون جولیا, پیر فاتو و پل ارگوی-نه تنها به مندلبرو کار واضح تر but اما برای دیدن ارتباط خود را به شاخه های دیگر ریاضیات. به همان اندازه, در حالی که اکثر نویسندگان نمی خواهد موفق به شامل بحث حداقل مختصری از مندلبرو و نه جالب و کمی غیر متعارف ( برای یک ریاضیدان مدرن ) زندگی در متون خود را در فرکتال, به نظر می رسد تنها عادلانه به برخی, اگر برابر نیست, توجه به پیشینیان خود.

تا قرن 19 ریاضیات فقط به توابع مربوط می شد که منحنی های قابل تفکیک تولید می کردند. در واقع حکمت متعارف روز گفت که هر تابع با یک فرمول تحلیلی (یعنی مجموع یک سری قدرت همگرا ) قطعا چنین منحنی را تولید می کند. [ 3] با این حال , در جولای 18 , 1872, کارل وایرشتراس یک مقاله در فرهنگستان سلطنتی پروس علوم نشان می دهد که برای یک یک عدد صحیح مثبت و 0< b < 1 0 < b < 1 0 < b < 1

قابل تمایز نیست. وی با استفاده از تعریف حد مشتق نشان داد که ضریب اختلاف تابع

می شود خودسرانه بزرگ به عنوان شاخص جمع را افزایش می دهد. همانطور که وایرشتراس خود اشاره کرد, ریمان معرفی کرده بود

به عنوان یک مثال از یک تابع تحلیلی غیر قابل تمایز, اما هرگز اثبات منتشر شده, و نه می تواند هر کسی تکرار. [ 14 ] بدین ترتیب, اثبات وایرشتراس می ایستد به عنوان اولین مثال دقت اثبات شده از یک تابع است که تحلیلی, اما قابل تمایز نیست. در حالی که وایرشتراس و در واقع بسیاری از استقرار ریاضی از زمان اجتناب استفاده از نمودار به نفع دستکاری نمادین به منظور اثبات نتایج, ریاضیدانان بعدی مانند هلگ فون کخ و مندلبرو خود مفید برای نشان دادن نتایج خود را به صورت گرافیکی. [ 5 ] [ 7] در واقع, زمانی که یکی تنها با منحنی که تقریبا در همه جا قابل تمایز هستند کار می کرد, یک سوال واضح زمانی که یکی یک فرمول برای یک منحنی برخورد است که نه است, "چه شکلی است?"

در حالی که این هر دو تقریب هستند, می توان دید که این توابع فاقد صافی سهمی و یا از توابع سینوس و کسینوس. این کارکردها در برابر تجزیه و تحلیل سنتی مقاومت می کردند-اگرچه به دلیل ظاهری که فراتر از توانایی ریاضیدانان روز برای نمایندگی بود-با برچسب "هیولاها" توسط چارلز هرمیت و تا حد زیادی توسط جامعه ریاضی معاصر نادیده گرفته می شدند. [ 2 ]

که در 1883 جورج کانتور, که سخنرانی های وایرشتراس در طول زمان خود به عنوان دانشجو در دانشگاه برلین حضور [ 9 ] و چه کسی است که به مجموعه ای از نظریه چه مندلبرو است به هندسه فراکتال, [ 3] معرفی یک تابع جدید , ψ, که ψ ' = 0 به جز در مجموعه ای از نقاط,< z >\ < z >. این مجموعه,< z >\ < z >, همان چیزی است که به مجموعه کانتور معروف شد.

تابع sing مفرد است, یکنواخت, غیر ثابت و' ' = 0 تقریبا در همه جا. همچنین این خاصیت را دارد که

مجموعه کانتور اندازه صفر لبسگ دارد. [ 3] چه تر است, این خاصیت شبیه بودن به خود را دارد, به این معنی که اگر بخشی از مجموعه را بزرگ کند, دوباره کل مجموعه را دریافت می کند. با نگاهی به شکل 4 می توان به راحتی مشاهده کرد که هر خط افقی یک سوم اندازه خط افقی است که مستقیما بالای خط قرار دارد. در حقیقت, خود شباهت یکی از ویژگی های فرکتال است, و مجموعه کانتور یک نمونه اولیه از یک فراکتال است, هر چند خود شباهت بود تا تعریف نشده 1905 ( توسط سس ارمرو, شد که تجزیه و تحلیل مقاله توسط هلگ فون کخ مورد بحث در زیر ) و فرکتال شد تا مندلبرو در تعریف نشده 1975 , [ 2 ] بنابراین کانتور نمی توانست از این در شرایط فکر.

در یک مقاله منتشر شده در 1904 , ریاضیدان کرون هلگ فون کخ ساخته شده با استفاده از هندسه به معنی در حال حاضر معروف منحنی فون کخ و از این رو برف ریزه کخ, که است که سه منحنی فون کخ با هم پیوست. وی در مقدمه مقاله خود موارد زیر را در مورد مقاله وایرشتراس در سال 1872 بیان کرد [ 6 ] :

. به نظر من مثال [ وایرشتراس ] او از نظر هندسی رضایت بخش نیست زیرا تابع با یک عبارت تحلیلی تعریف می شود که ماهیت هندسی منحنی مربوطه را پنهان می کند و بنابراین از این دیدگاه نمی توان فهمید که چرا منحنی مماس ندارد. بلکه به نظر می رسد که ظاهر در واقع در تضاد با واقعیت واقعی است که توسط وایرشتراس به روشی کاملا تحلیلی ایجاد شده است.

منحنی فون کخ مانند مجموعه کانتور دارای خاصیت شباهت به خود است. این, هم, یک فراکتال است, گرچه, مانند کانتور, فون کخ در چنین شرایط فکر نمی. او صرفا با هدف ایجاد یک روش جایگزین برای اثبات اینکه توابع غیر قابل تمایز هستند ( یعنی توابعی که در اصطلاح هندسی "مماس ندارند") می توانند وجود داشته باشند-راهی که شامل استفاده از "هندسه ابتدایی" بود (مرجع [ 6] عنوان به یک منحنی پیوسته بدون مماس قابل ساخت از هندسه ابتدایی ترجمه می شود ) . با این کار فون کوچ ارتباط بین این "هیولاهای" غیر قابل تمایز تجزیه و تحلیل و هندسه را بیان کرد.

خود فون کوچ یک ریاضیدان نسبتا قابل توجه بود. بسیاری از نتایج دیگر او از نتایج هنری پوانکار گرفته شده بود-که می دانست دستیابی به نتایج "پاتولوژیک" امکان پذیر است-یعنی این به اصطلاح "هیولاها" - اما خارج از مقاله فوق هرگز واقعا کاوش نکردند. [ 5 ] پوانکارé, لازم به ذکر است, دینامیک غیر خطی مورد مطالعه در بعد 19 قرن هفتم, که در نهایت به نظریه هرج و مرج منجر, [2 ] یک میدان نزدیک به هندسه فراکتال مربوط, هر چند فراتر از محدوده این مقاله. بنابراین مناسب است که یک ریاضیدان که کارش از پوانکار پیروی می کند-به طوری که از نزدیک به یکی از پدران یک رشته تبدیل می شود که نزدیک به منطقه مطالعه است که پوانکار-خودش به پایه گذاری کمک کرد.

یک مفهوم کاملا کلیدی در مطالعه فرکتال, جدا از فوق شباهت خود و عدم تمایز, است که از بعد هاسدورف, یک مفهوم توسط فلیکس هاسدورف در ماه مارس معرفی 1918 . نتایج هاسدورف از همان مقاله در زمینه توپولوژی نیز مهم بود; [ 3 ] با این حال که تعریف او از بعد گسترش تعریف قبلی اجازه می دهد تا برای مجموعه به یک بعد است که خودسرانه, ارزش غیر صفر [ 4 ] ( بر خلاف بعد توپولوژیکی ) به پایان رسید تا جدایی ناپذیر به تعریف یک فراکتال بودن, به عنوان مندلبرو تعریف فرکتال "مجموعه ای داشتن بعد هاسدورف به شدت بیشتر از بعد توپولوژیکی خود." [ 2 ]

به محض معرفی این تعریف جدید و گسترده از بعد موضوع تحقیق بود-به ویژه توسط ابراهیم سامیلوویچ بسیکوویچ که از سال 1934 تا اوایل سال 1937 کمتر از سه مقاله در مورد کارهای هاسدورف نوشت. [3] متاسفانه در این زمان هاسدورف در زندگی به عنوان یک یهودی در المان نازی با مشکلاتی روبرو بود. او در سال 1935 مجبور شد پست خود را به عنوان استاد دانشگاه بن رها کند و اگرچه به کار بر روی نظریه مجموعه و توپولوژی ادامه داد اما کار او فقط در خارج از المان قابل چاپ بود. علی رغم اینکه به طور موقت توانست به اردوگاه کار اجباری اعزام نشود اوضاع به سرعت غیرقابل تحمل شد و او به همراه همسر و خواهر شوهرش در ژانویه 1942 تصمیم به خودکشی گرفت . [ 4 ]

اما این معادلات در مقاله هاسدورف ظاهر نمی شوند زیرا مستقیما به فراکتال ها ( و محاسبه بعد یک فراکتال) مربوط می شوند که ایده هایی بودند که برای هاسدورف ناشناخته بودند. هنوز هم از این دو معادله به راحتی می توان فهمید که چگونه می توان به بعد دست یافت که یک عدد کامل نیست مانند [ 2 ]

تقریبا در همان زمان که هاسدورف تحقیقات خود را انجام داد دو ریاضیدان فرانسوی به نام های گاستون جولیا و پیر فاتو نتایجی را توسعه دادند ( اگرچه با هم نبودند ) که در نهایت برای هندسه فراکتال مهم بود. نقشه برداری از صفحه پیچیده و توابع تکراری را مطالعه کردند. کارشان با کارکردهای تکراری منجر به ایده های جذب کنندگان شد , نقاطی در فضا که نقاط دیگر را به سمت خود جذب می کنند; و دافع ها , نقاطی در فضا که نقاط دیگر را دفع می کنند, معمولا به یک جاذب دیگر. این مفاهیم برای نظریه هرج و مرج نیز مهم هستند. مرزهای حوضه های مختلف از جاذبه معلوم شد که بسیار پیچیده و امروز به عنوان مجموعه جولیا شناخته شده, [ 7] نمونه ای از که می تواند در شکل دیده می شود 6 . تعریف تحلیلی تر از یک جولیا مجموعه ای برای یک تابع, ج ( از ) ج (ی) ج (ی ) , است [ 2 ]

زیرا فاتو و جولیا (و با تعمیم کارشان ) پیش از کامپیوترها قادر به تولید تصاویری مانند تصویر سمت راست نبودند که نمودار میلیونها تکرار یک تابع است. محدود به کاری بود که می توانستند با دست انجام دهند که فقط حدود سه یا چهار تکرار بود. [ 7] جولیا در سال 1918 یک مقاله 199 صفحه ای به نام منتشر کرد م ارگمایر سور لایتریشن دس فونکتس منطق Ⓣ که بیشتر کارهای او را در مورد توابع تکراری و توصیف مجموعه جولیا مورد بحث قرار داد. جولیا با این مقاله برنده جایزه بزرگ دانشکده علوم ارممی شد و در محافل ریاضی در سال 1920 بسیار مشهور شد. [ 11 ]

از طرف دیگر فاتو به همان سطح شهرت جولیا حتی در زمان معاصر دست نیافت علی رغم اینکه نتایج بسیار مشابهی را کشف کرد-هرچند به شیوه ای متفاوت-و همچنین ارسال کرد تا منتشر شود. او در حالی که جولیا تصمیم گرفته بود اپوس خود را به مجله ارسال کند ریاضی ارماتیکس پیورز و همکاران اپلیکیشن ارمس . جولیا که از کار خود محافظت می کرد نامه هایی را برای کامتس رندوس فرستاد و از او خواست تا نتایج اولویت خود را بررسی کند. این نشریه به درستی تحقیقاتی را انجام داد و شامل یادداشتی در مورد یافته های جولیا در همان شماره اعلامیه فاتو بود. این ظاهرا فاتو را به اندازه کافی دلسرد کرد تا او را از ورود به جایزه بزرگ باز دارد. هنوز هم دانشکده علوم ارممی به او شهرت بخشید و برای مقاله خود در این زمینه جایزه ای به او اعطا کرد. [ 10 ]

مجموعه های جولیا را می توان کاملا قطع کرد که در این صورت "گرد و غبار" هستند ( شکل 7) -- شبیه مجموعه کانتور ( شکل 4) or یا کاملا متصل هستند ( شکل 6) . در موارد نادر می توانند "دندریت" باشند ( شکل 8) جایی که "کاملا از خطوط زیر شاخه پیوسته تشکیل شده اند که فقط از زمانی که حذف هر نقطه از انشعابات به دو قسمت تقسیم می شود به هم متصل می شوند" [ 7 ] در این مرحله "گرد و غبار"در نظر گرفته می شوند. [ 7 ]

روش تصمیم گیری در مورد اتصال یا عدم اتصال یک مجموعه محاسبه مدار نقطه شروع است. مدار برای یک نقطه شروع, ایکس 0 ایکس _ ایکس 0, دنباله است [ 2 ]

اگر این توالی خاموش می رود تا بی نهایت, سپس مجموعه ای قطع شده است. در غیر این صورت متصل است. [ 7 ]

در سال 1938 پل ال ارگوی یک درمان جامع در مورد خاصیت شباهت به خود ایجاد کرد. او نشان داد که منحنی فون کخ تنها یکی از نمونه های بسیاری از یک منحنی خود مشابه بود, هر چند فون کخ خود اظهار داشت که منحنی خود را می تواند تعمیم. منحنی های تولید شده توسط ال ارگوی ( برای مثال شکل 9 را ببینید-مجموعه های سبز و ابی دو نسخه کوچکتر از مجموعه بزرگتر هستند ) تکراری و متصل بودند و با تکرارهای کافی صفحه را می پوشانند ( یا کاشی می کنند). منحنی های لورگوی اما فراکتال نیستند زیرا هم هاسدورف دارند و هم بعد توپولوژیکی دو. [ 3 ]

در این زمان کسی گمان نمی کرد که شخصی وجود داشته باشد که البته هنوز یک فرد بسیار جوان است و می تواند کارهای ال ارگوی و هاسدورف را متحد کند. بنوا ماندلبرو در سال 1924 در ورشو لهستان متولد شد و مانند هاوسدورف نیز یهودی بود هرچند خانواده او در سال 1936 با ترک لهستان به فرانسه توانستند از زندگی در دوران رایش سوم فرار کنند. یکی از عموهای مندلبرو به نام سوزولم مندلبروت یک ریاضیدان محض بود که به مندلبرو جوان علاقه مند شد و سعی کرد او را به سمت ریاضیات سوق دهد. در واقع در سال 1945 مندلبروجت کارهای فاتو و جولیا را به برادرزادهاش نشان داد هرچند مندلبرو جوان در ابتدا چندان علاقهای به این کار نداشت. [ 13 ]

تحصیلات مندلبرو بسیار ناهموار بود و در سال 1940 که مندلبرو و خانواده اش مجبور شدند دوباره از نازی ها فرار کنند کاملا قطع شد. این بار به فرانسه مرکزی رفتند. مندلبرو, مانند هلگ فون کخ قبل از او, بازنمایی بصری ترجیح از مشکلات ریاضی, به عنوان نمادین مخالف, [ 7 ] هر چند این نیز ممکن است از عدم تحصیلات رسمی ساقه, با توجه به جنگ جهانی دوم. [ 13 ] متاسفانه, این او را به درگیری مستقیم با سبک تدریس "بورباکی" را, یک گروه از ریاضیدانان که اعتقاد به حل مشکلات تحلیلی ( به صورت بصری مخالف ) تدریس ریاضیات در فرانسه در زمان تحت سلطه. [ 7 ]

مندلبرو پس از پایان جنگ در امتحانات ورودی پلی تکنیک ارمکول در پاریس شرکت کرد. او در بخش ریاضیات بسیار خوب عمل کرد و توانست از توانایی خود برای حل مشکلات از طریق تجسم برای پاسخ به سوالات استفاده کند. در حالی که این روش همیشه ممکن نیست در بخش های دیگر, او موفق به تصویب [ 7 ] و پس از یک کار یک روزه در ارمکول نورمال, مندلبرو در ارمکول پلی تکنیک شروع, جایی که او یکی دیگر از مربیان خود ملاقات کرد, پل ال ارموی, [ 13 ] که استاد در وجود دارد از بود 1920 تا زمان بازنشستگی خود را در 1959 [ 12 ] .

مندلبرو پس از اتمام تحصیلات خود به نیویورک نقل مکان کرد و در مرکز تحقیقات توماس جی واتسون کار کرد. این شرکت به او دست در انتخاب یک موضوع مطالعه, که اجازه داده او را به کاوش و توسعه مفاهیم با استفاده از روش های خود را, بدون نیاز به نگرانی در مورد واکنش جامعه دانشگاهی. که در 1967 , در حالی که هنوز وجود دارد, مندلبرو مقاله نقطه عطفی خود نوشت, سواحل بریتانیا چه مدت است? شباهت به خود و بعد کسری [ 8] که او ایده ریاضیدانان قبلی را به دنیای واقعی پیوند داد-یعنی خطوط ساحلی که ادعا می کرد "از نظر خود مشابه"هستند. وی تصریح کرد: [8 ]

روشهای شباهت به خود ابزاری قوی در مطالعه پدیده های شانس از جمله زمین شناسی و همچنین اقتصاد و فیزیک است. در واقع بسیاری از صداها دارای ابعاد هستند د بین 0 تا 1 موجود است .

مندلبرو پس از این مقاله و با کمک رایانه به کار جولیا و فاتو بازگشت. مندلبرو با قابلیت دیدن برای اولین بار ایده نگاشت مقادیر سی پلاس پلاس سی به ذهنش رسید که مجموعه جولیا برای تابع اف سی ( ی) = ز 2 + سی ف_ (ی) = ز^ + سی اف سی ( ی ) = ز 2 + سی اف (ی) = ز ^ + سی اف (ی) = ز 2 + ج متصل است. این باعث ایجاد مجموعه ای مندلبرو, متر متر متر (شکل 10), که به طور رسمی تر به عنوان نشان داده

مجموعه مندلبرو است, برای بسیاری از, فراکتال ناب. هنگامی که یکی زوم در در برخی از بخشی از لبه, یکی متوجه می شود که مجموعه ای مندلبرو است, در واقع, خود مشابه. علاوه بر این, اگر کسی حتی بیشتر در بخشهای مختلف لبه بزرگنمایی کند, مجموعه های مختلف جولیا را دریافت می کند. همانطور که در یک قضیه توسط ریاضیدان چینی تان لی ثابت شده است" به طور مجانبی شبیه جولیا است که در نزدیکی هر نقطه از مرز خود قرار دارد". [ 7 ]

مندلبرو نه تنها توانسته رشته هندسه فراکتال را اختراع کند بلکه از طریق کاربردهای خود در سایر زمینه های علمی نیز رواج یافته است. او همانطور که یک بار اظهار داشت به وضوح معتقد بود این مهم است [ 3 ]

دانشمندان کمیاب که به انتخاب عشایر هستند برای رفاه فکری رشته های مستقر ضروری هستند.

همانطور که او در اشاره سواحل بریتانیا چه مدت است? همه چیز به راحتی با استفاده از هندسه اقلیدسی سنتی نشان داده نمی شوند. به هر حال هیچ موجود ارگانیکی وقتی به یک مربع یا دایره فکر می کند به ذهن خطور نمی کند. به همین ترتیب هیچ شکل ساده ای از هندسه اقلیدسی هنگام تفکر در مورد چیزهایی مانند مسیر رودخانه به ذهن خطور نمی کند. حتی زمین هم کره کاملی نیست هرچند که برای محاسبات یک نفر راحت باشد که اینگونه رفتار کند. علاوه بر این, هندسه فراکتال و نظریه هرج و مرج ارتباطات مهمی با فیزیک, دارو, و مطالعه پویایی جمعیت. [ 7 ] با این حال, حتی اگر زمینه فاقد این لینک ها, این امر می تواند سخت برای کسانی که تا تمایل به مقاومت در برابر درخواست تجدید نظر زیبایی از بسیاری از فرکتال.

رویکرد غیر سنتی مندلبرو او را به اختراع شکل جدید شگفت انگیز و مفید ریاضیات سوق داد. اما هیچ ریاضیدانی نمی تواند ادعا کند که نتایج خود را در انزوای کامل از دیگران توسعه داده است. کشف مندلبرو مدیون ریاضیدانانی است که قبل از او بودند مانند وایرشتراس و فون کوچ اما به ویژه به جولیا, فاتو, و هاسدورف. او همچنین از دسترسی به کامپیوترها بهره مند شد که به او اجازه می داد نه تنها کارهای دیگران را به شیوه ای جدید-که قطعا قبلا انجام نشده بود-بلکه از روش ترجیحی خود برای حل مشکلات-یعنی تجسم سازی استفاده کند. علاوه بر این اختراع او به اهمیت مطالعه ریاضیات محض نیز می پردازد: تا زمانی که مندلبرو همراه شد و ایده های التقاطی هاسدورف جولیا و همکاران را متحد کرد و ایده های ریاضی بسیار انتزاعی را از شاخه های مختلف ریاضیات ( خالص ) نشان داد. بسیار کمی است که یک زیست شناس عادی در مورد نظریه مجموعه علاقه وجود دارد. با این حال, از طریق هندسه فراکتال, بسیاری از این ایده به ظاهر انتزاعی ( از ریاضیدانان که در خارج از حوزه خود را از پژوهش نسبتا ناشناخته هستند ) توسعه برنامه های کاربردی که دانشمندان دیگر و حتی غیر دانشمندان می تواند درک. بدین ترتیب, کار که در نهایت به فرکتال منجر و برنامه های کاربردی خود را یک نمونه عالی به استدلال از هر کسی که جرات به بدنام مطالعه ریاضیات محض.